Din când în când nepotu’meu își aduce aminte că trebuie să treacă clasa la fizică. De fapt nu el, ci soră-mea, el nu prea are de-ales. Iar atunci Alex trebuie să-și puie capișonul de tocilar și să se-aștearnă pe treabă.

Istoria recentă a acestei mici și vinovate voluptăți – pentru unii – a avut drept subiect electricitatea. Iar din toate problemele – și de la admitere n-am mai rezolvat atât de multe pe zi – una mi-a plăcut în mod deosebit fiindcă dădea posibilitatea desfășurării unui raționament ce permitea descrierea detaliată a fenomenului.

Sau cel puțin asta era impresia mea, aparent greșită, căci profesoara i-a servit un clasic: asta se putea rezolva mai simplu cu stea-triunghi! Parcă am mai zis de curând că-mi place să fiu jucăria speranței, așa că o să ignor comentariul autorizat și-am să transcriu aici, atât problema, cât și rezolvarea.

În figura alăturată este reprezentată o grupare de rezistoare ale căror rezistențe au valorile R1=100Ω și R2=200Ω. Calculați rezistența echivalentă, măsurată între nodurile A și B.

În primul și primul rând, suplimentar față de schema dată, am notat punctele din mijloc cu M, respectiv N, pentru a mă putea referi la ele în etapele intermediare de rezolvare. Cu această adnotare, ne strecurăm tiptil:

\[R_{echiv}=\frac{(V_{A}-V_{B})}{I}\]

Iar intensitatea generală I este, folosind legea lui Kirchhoff în punctul A (înțelegem această sumă în sens algebric, deci acceptăm inclusiv valori negative pentru curenții notați; astfel, fizic, o valoare negativă nu face altceva decât să ne spună că acel curent curge, obraznic, în sensul opus celui presupus inițial):

\[I=I_{AN}+I_{AM}=\frac{(V_{A}-V_{N})}{R_{1}}+\frac{(V_{A}-V_{M})}{R_{2}}\]

Cine sunt V_M și V_N? Ce hram poartă? De unde au bani de curent? Părinții lor știe? Să vie la școală cu caietul semnat să știm și noi. Și unde sunt azi și de ce chiulesc? Cine-i vede este rugat să raporteze la cancelarie!

Dacă plecăm din nodul M și aplicăm din nou cea mai dorită dintre legi:

\[I_{AM}=I_{MN}+I_{MB}\]

Iar în termeni de potențial (realizat sau nerealizat, fiecare după darurile sale) și de rezistență (atât la nou cât și la vechi):

\[\frac{(V_{A}-V_{M})}{R_{2}}=\frac{(V_{M}-V_{N})}{R_{1}}+\frac{(V_{M}-V_{B})}{R_{1}}\]

Substituind valorile numerice din ipoteză:

\[\frac{(V_{A}-V_{M})}{200}=\frac{(V_{M}-V_{N})}{100}+\frac{(V_{M}-V_{B})}{100}\]

Și acum ce facem că încă nu s-a sunat? Una din strategiile de rezolvare este ca, atunci când enunțul problemei nu îți oferă suficiente informații, să stimulezi sistemul să-ți ofere unele suplimentare, ceea ce înseamnă inclusiv fixarea unor valori de referință.

Atâta timp cât acestea nu sunt constrânse din ipoteză, pot fi orice sau oricât (în limita bunului simț fizic și practic). În cazul de față, rezistența circuitului este aceeași indiferent de tensiunea dintre bornele A și B, deci putem să ne alegem o valoare ce ne poate ajuta la simplificarea rezolvării.

Așadar, putem aplica pe bornele A și B o tensiune de probă astfel încât:

– V_A = V (nu importă că e 5 Volți, 10 Volți etc.);
– V_B = 0.

Ecuația de mai sus devine un pic mai simpatică și mai utilă:

\[\frac{(V-V_{M})}{200}=\frac{(V_{M}-V_{N})}{100}+\frac{(V_{M})}{100}\]

Căci putem deduce o relație între V_M și V_N:

\[V-V_{M}=4V_{M}-2V_{N}=>5V_{M}-2V_{N}=V\]

Procedând similar în nodul N (păstrând inclusiv tensiunea de control stabilită anterior):

\[I_{NB}=I_{AN}+I_{MN}\]

Re-exprimând în relație cu tensiunile intermediare și rezistențele de pe traseu:

\[\frac{(V_{N})}{200}=\frac{(V-V_{N})}{100}+\frac{(V_{M}-V_{N})}{100}\]

Și obținem o nouă relație între V_M și V_N. Deja facem treabă mai bună și-am descoperit ceva mai util decât Recorder:

\[-2V_{M}+5V_{N}=2V\]

Așadar, avem un sistem de două ecuații cu două necunoscute, poate o provocare prea mare pentru cei mai înflăcărați susținători ai științei oficiale:

\[
\begin{cases}
5V_{M}-2V_{N}=V \\
-2V_{M}+5V_{N}=2V
\end{cases}
\]

Cu soluția:

\[V_{M}=\frac{3V}{7}, V_{N}=\frac{4V}{7}\]

Înlocuind V_M, V_N (precum și V_A și V_B cu valorile de control) în formula pentru curent așa cum a fost stabilită în nodul A:

\[
I=\frac{(V-4V/7)}{100}+\frac{(V-3V/7)}{200}\\
=\frac{V}{140}
\]

Iar rezistența echivalentă poate, în sfârșit, să fie calculată, încheind acest proces verbal de laborator cu călimara-nfiptă-n stern (pentru cei suficient de norocoși să fi făcut mai mult de patru lecții de laborator pe an):

\[R_{echiv}=\frac{V}{I}=\frac{V}{V/140}=140\Omega\]